Question

（理）如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点S（0，

1

3

）且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足

GP

=

GA

+

GB

使四边形NAPB为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先判断NP为AM的中垂线，从而可得|CN|+|AN|=2

2

，故可知动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，由此可得曲线E的方程；
（2）动直线l的方程为：y=kx-

1

3

与椭圆方程联立，消元可得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0，假设在y上存在定点G（0，m），使得以AB为直径的圆恒过这个点，则

GA

•

GB

=0恒成立，故可得点G的坐标，进而可得四边形NAPB面积，利用基本不等式，可确定最值．

解答：解：（1）∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2

2

∴|CN|+|AN|=2

2

＞2
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．
且椭圆长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2
∴a=

2

，c=1，∴b²=1
∴曲线E的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）动直线l的方程为：y=kx-

1

3

与椭圆方程联立，消元可得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

假设在y上存在定点G（0，m），满足题设，则

GA

=（x₁，y₁-m），

GB

=（x₂，y₂-m），
∴

GA

•

GB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

由假设得对于任意的k∈R，

GA

•

GB

=0恒成立，∴m²-1=0且9m²+m-15-0，解得m=1．
因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点G的坐标为（0，1）
这时，点G到AB的距离d=

4

3 k2+1

|AB|=

(k2+1)(x1-x2)2

S_GAPB=|AB|d=

4

3

(x1-x2)2

=

16

9

9k2+4 (2k2+1)2

设2k²+1=t，则k2=

t-1

2

，得t∈[1，+∞），

1

t

∈(0，1]
所以S_GAPB=

16

9

1 2 [ 81 4 -( 1 t - 9 2 )2]

≤

32

9

，当且仅当

1

t

=1时，上式等号成立．
因此，四边形NAPB面积的最大值是

32

9

．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合问题的考查，是综合题有一定的难度，考查利用圆锥曲线的定义求曲线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．