Question

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，点N的轨迹方程是（　　）

• A、

  x2

  2

  +y²=1
• B、

  x2

  2

  -y²=1
• C、x²+

  y2

  2

  =1
• D、x²-

  y2

  2

  =1

Answer 1

分析：利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=2

2

＞AC，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程．

解答：解：C（-1，0），∵

AM

=2

AP

，∴P 为AM的中点．∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM．
故NP为线段AM的中垂线，∴NM=NA．∵NM+NC=2

2

（半径），
所以CN+AN=CM=2

2

，故N点轨迹为以A、C为焦点的椭圆，有
c=1，a=

2

，可得b=1，故
点N轨迹方程曲线E为

x2

2

+y²=1，
故选A．

点评：本题考查轨迹方程的求法，椭圆的定义，判断点N的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，是解题的关键．