Question

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足

FG

=λ

FH

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=2

2

＞AC，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程
（2）不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，则直线FH方程为y=kx，则椭圆方程变为

x2

2

+（y-2）²=1，将直线与椭圆方程联立得（1+2k²）x²-8kx+6=0，结合题设条件求参数λ的范围

解答：解：（1）设点N的坐标为（x，y），
∵

AM

=2

AP

，∴点P为AM的中点，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA，
又点N在CM上，设圆的半径是 r，则 r=2

2

，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=r=2

2

＞AC，
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
∴2a=2

2

，c=1，可求得b=1，
∴椭圆

x2

2

+y2=1，即曲线E的方程：

x2

2

+y2=1．
（2）当斜率不存在时，直线与曲线E有2个交点此时参数的值为λ=

1

3

，
不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，
则直线FH方程为y=kx，椭圆方程变为

x2

2

+（y-2）²=1，
将直线方程代入椭圆得

x2

2

+（kx-2）²=1，整理得（1+2k²）x²-8kx+6=0，
直线与曲线E有二不同的交点，故△=（-8k）²-4•6（1+2k²）=16k²-24＞0，即k²＞

3

2

，
因为左右对称，可以研究单侧，
当k＞0时，λ=

x1

x2

=

-b- b2-4ac

-b+ b2-4ac

即λ=

8k- 16k2-24

8k+ 16k2-24

=

2- 1- 3 2k2

2+ 1- 3 2k2

由k²＞

3

2

，即0＜

3

2k2

＜1，即0＜

1- 3 2k2 ?

＜1，
令t=

1- 3 2k2 ?

∈（0，1），则λ=

2-t

2+t

，t∈（0，1），
由于λ=

2-t

2+t

=

4

2+t

-1，故函数在t∈（0，1）上是减函数，故

1

3

＜λ＜1
综上，参数的取值范围是

1

3

≤λ＜1

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，解题的关键是掌握圆锥曲线的定义，由题设条件判断出所求的轨迹是椭圆，以及能将求两线段比值的问题转化为坐标比值，以利于用直线与圆锥曲线的方程研究参数的取值范围，本题解题过程中把曲线中心移到点（0，2），重新建系，使得椭圆方程得以简化且给后续解题带来了极大的方便，使问题转化为在k＞0上求参数的范围，解题时要注意此类技巧的使用．本题综合性强运算较繁杂，做题时要严谨认真．