Question

6．若实数m，n满足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2m+3n≤2}\\{-3＜m-n≤1}\end{array}\right.$，则3m+4n的取值范围是[-2，3]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．

解答 解：由实数m，n满足$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2m+3n≤2}\\{-3＜m-n≤1}\end{array}\right.$，
作出可行域如图，由$\left\{\begin{array}{l}{m-n=-3}\\{2m+3n=-1}\end{array}\right.$，解得A（-2，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{2m+3n=2}\\{m-n=1}\end{array}\right.$，解得B（1，0），
化目标函数z=3m+4n为n=$-\frac{3}{4}$m+$\frac{z}{4}$由图可知，
当直线n=$-\frac{3}{4}$m+$\frac{z}{4}$过A时，直线在n轴上的截距最大，
z有最小值为-2；
当直线n=$-\frac{3}{4}$m+$\frac{z}{4}$过B时，直线在n轴上的截距最小，
z有最大值为：3．
故答案为：[-2，3]

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．