Question

如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y²=2px（p＞0）经过C，F两点，则

b

a

=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求

b

a

的值．

解答： 解：由题意可得C(

a

2

，-a)，F(

a

2

+b，b)，
将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y²=2px中，得

(-a)2=2p• a 2 b2=2p( a 2 +b)

∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得

a

b2

=

1

a+2b

，化简整理得a²+2ab-b²=0，
此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得a=

-2b± 8b2

2

=(-1±

2

)b，
取a=(

2

-1)b，
从而

b

a

=

1

2 -1

=

2

+1，
故答案为：

2

+1．

点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．