Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{2e}^{x}}{1{+x}^{2}}$（e为自然对数的底数），若m＞4（ln2-1）．求证：当x＞0时，f（x）＞$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$．

Answer 1

分析 作差，即f（x）-$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$．设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，证明h（x）在（0，+∞）上单调递增，即可证得结论．

解答 证明：∵f（x）=$\frac{{2e}^{x}}{1{+x}^{2}}$，
∴f（x）-$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$=$\frac{{2e}^{x}-{2x}^{2}+mx-2}{1{+x}^{2}}$，
设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
设g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，
令g′（x）＜0，则0＜ln2；令g′（x）＞0，则x＞ln2；
∴函数g（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（0）=0，
∴h（x）＞0，
∵1+x²＞0，∴$\frac{{2e}^{x}-{2x}^{2}+mx-2}{1{+x}^{2}}$＞0，
∴f（x）＞$\frac{{2x}^{2}-mx+2}{1{+x}^{2}}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查函数思想的运用，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．