Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC的中点，AB⊥PD．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC
（Ⅱ）如果三棱锥P-BCD的体积为3，求PA．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的判定，证明OD⊥平面PAB，从而平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）利用三棱锥的体积公式，得到PA长度的方程，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中点为O，连结OD，OP．
因为PA=PB，所以AB⊥OP．
又AB⊥PD，OP∩PD=P，所以AB⊥平面POD，
因为OD?平面POD，所以AB⊥OD．…（3分）
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以OD⊥PB，
因为AB∩PB=B，所以OD⊥平面PAB．
又OD?平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OP⊥平面ABC．
设PA=a，因为D为AC的中点，所以
V_P-BCD=

1

2

V_P-ABC=

1

2

×

1

3

×

1

2

a²×

3

2

a=

3

24

a³，…（10分）
由

3

24

a³=3解得a=2

3

，即PA=2

3

．…（12分）

点评：本题以考查面面垂直、三棱锥体积计算，考查空间想象能力和计算能力．