Question

18．等比数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$（n=3，4，…），则{a_n}的前n项和为n或$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$×（$-\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 由已知条件，先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．

解答 解：设公比为q，由a_n=$\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$，
∴2a_n=$\frac{{a}_{n}}{q}$+$\frac{{a}_{n}}{{q}^{2}}$，
∴2=$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$，
解得q=1或q=-$\frac{1}{2}$，
当q=1时，a₁=1，a_n=1，S_n=n，
当q=-$\frac{1}{2}$，a₁=1，S_n=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$×（$-\frac{1}{2}$）ⁿ，
故答案为：n或$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$×（$-\frac{1}{2}$）ⁿ，

点评 本题考查了等比数列的定义和等比数列的前n项和公式，属于基础题．