Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若a_k+1，a_2k，a_2k+3（k∈N^*）恰好依次为等比数列{b_n}的第一、第二、第三项，求数列{$\frac{n}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（Ⅱ）由题知：a_k+1，a_2k，a_2k+3（k∈N^*）恰好依次为等比数列{b_n}的第一、第二、第三项，可得${a}_{2k}^{2}$=a_k+1•a_2k+3（k∈N^*），解得k=3．可得b_n=$8×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，$\frac{n}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{8}n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，再利用“错位相减法”与求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
检验n=1时，上式符合．
∴a_n=2n．．
（Ⅱ）由题知：a_k+1，a_2k，a_2k+3（k∈N^*）恰好依次为等比数列{b_n}的第一、第二、第三项，
∴${a}_{2k}^{2}$=a_k+1•a_2k+3（k∈N^*），
即（2×2k）²=2（k+1）•2（2k+3），解得k=3．
∴b₁=a₄=8，b₂=a₆=12，公比q=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$．
∴b_n=$8×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{n}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{8}n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{8}$$[1+2×\frac{2}{3}$+$3×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$n×（\frac{2}{3}）^{n-1}]$．
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{8}$$[\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}+n×（\frac{2}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{8}$$[1+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}]$-$\frac{1}{8}n（\frac{2}{3}）^{n}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{3+n}{8}$×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
T_n=$\frac{9}{8}$-$\frac{9+3n}{8}$×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式性质与求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．