Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=$\frac{1}{4}$．
（1）求b的值；
（2）求sin2C的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理即可解得得解b的值．
（2）利用余弦定理可求cosC的值，结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用二倍角公式即可计算得解．

解答 解：（1）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，可得：${b^2}={2^2}+{3^2}-2×2×3×\frac{1}{4}=10$，
∴解得：$b=\sqrt{10}$．
（2）∵$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$=$\frac{4+10-9}{{2×2×\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{8}$，
又∵C是△ABC的内角，
∴$sinC=\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$．
∴sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{3\sqrt{6}}{8}$×$\frac{\sqrt{10}}{8}$=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．