已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两个焦点分别为F1.F2(2.0).离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．过焦点F2的直线l与椭圆C交于A.B两点.线段AB的中点为D.O为坐标原点.直线OD交椭圆于M.N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时.求直线l的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．过焦点F₂的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当四边形MF₁NF₂为矩形时，求直线l的方程．

分析（I）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（-x₃，-y₃）．与椭圆方程联立化为（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AB的中点D$（\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}）$，可得直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．与椭圆方程联立，解得${y}_{3}^{2}$=$\frac{2}{1+3{k}^{2}}$，x₃=-3ky₃．利用四边形MF₁NF₂为矩形，可得$\overrightarrow{{F}_{2}M}•\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，解出即可．

解答解：（I）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=6，b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（II）由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（-x₃，-y₃）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，化为（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=$\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}$，
∴线段AB的中点D$（\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}）$，
∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+3ky=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得${y}_{3}^{2}$=$\frac{2}{1+3{k}^{2}}$，x₃=-3ky₃．
∵四边形MF₁NF₂为矩形，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}M}•\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，
∴（x₃-2，y₃）•（-x₃-2，-y₃）=0，
∴$4-{x}_{3}^{2}-{y}_{3}^{2}$=0，
∴$4-\frac{2（9{k}^{2}+1）}{1+3{k}^{2}}$=0，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故直线方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}（x-2）$．