Question

16．已知抛物线y²=2px（p＞0），过点C（-4，0）作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y²=2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（　　）

• A． y²=4x
• B． y²=-4x
• C． y²=8x
• D． y²=-8x

Answer 1

分析 由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故AB=2p，利用△KAB的面积为24，求出p的值，求得直线AB的方程，即可求得以直线AB为准线的抛物线标准方程．

解答 解：由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故丨AB丨=2p，
∴△CAB的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×2p×（$\frac{p}{2}$+4）=24，整理得：p²+8p-48=0，
解得p=4，或p=-12（舍去），
∴p=4，则抛物线方程y²=8x，
∴AB的方程：x=2，
∴以直线AB为准线的抛物线标准方程y²=-8x，
故选D．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．