Question

2．已知直线l过点P（4，6），交x轴、y轴正半轴于点A，B．
（1）若S_△OAB=64，求直线l的方程；
（2）求S_△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0）．可得直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1．把点P（4，6）代入，再利用三角形面积计算公式即可得出．
（2）由（1）可得，$\frac{4}{a}+\frac{6}{b}$=1．利用基本不等式的性质与三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0）．
则直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1．
把点P（4，6）代入可得，$\frac{4}{a}+\frac{6}{b}$=1．
又$\frac{1}{2}$ab=64，即ab=128．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ab=128}\\{4b+6a=128}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=16}\\{b=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{16}{3}}\\{b=24}\end{array}\right.$．
∴直线l的方程为x+2y-16=0，或9x+2y-48=0．
（2）由（1）可得，$\frac{4}{a}+\frac{6}{b}$=1．
∴$1≥2\sqrt{\frac{4}{a}•\frac{6}{b}}$，化为ab≥96．当且仅当a=8，b=12时取等号．
S_△OAB=$\frac{1}{2}ab$≥$\frac{1}{2}×96$=48．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．