Question

14．已知a，b，m都是正数，并且a＜b，分别利用综合法与分析法求证$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$．

Answer 1

分析 （1）把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止；（2）根据分析法，可得综合法．

解答 证明：（分析法）∵a，b，m∈R⁺，∴b，b+m∈R⁺
要证 $\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$，
只需证b（a+m）＞a（b+m），
只需证ba+bm＞ab+am，
只需证bm＞am，
又m∈R⁺，
∴只需证b＞a，
由题设可知b＞a显然成立，
∴$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$得证．
（综合法）：∵0＜a＜b，
∴m∈R⁺，
∴bm＞am，
∴ba+bm＞ab+am，
∴b（a+m）＞a（b+m），
∴$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$．

点评 本题考查了利用综合法及分析法证明不等式，关键是掌握综合法与分析法的原理、步骤及格式．