Question

9．若函数f（x）同时满足以下三个性质：
①f（x）的最小正周期为π；      
②f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数；
③对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，则f（x）的解析式可能是（　　）

• A． f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|
• B． f（x）=sin2x+cos2x
• C． f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$）
• D． f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$）

Answer 1

分析 根据函数f（x）同时满足三个性质，依次对个选项判断即可．

解答 解：对于A：f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|，∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的周期T=π，∴f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|其周期T=$\frac{π}{2}$，∴A选项不对．
对于B：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$），周期T=π；
令$\frac{π}{2}≤$2x$+\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$，可得$\frac{π}{8}≤x≤\frac{5π}{8}$是减函数，
对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，可知函数f（x）关于点（$-\frac{π}{8}$，0）对称，当x=$-\frac{π}{8}$，代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$），可得y=0，∴B选项对．
对于C：f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$），周期T=π；
令0≤2x$+\frac{3π}{4}$≤π，可得$-\frac{3π}{8}≤x≤\frac{π}{8}$是减函数，∴C选项不对．
对于D：f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$）周期T=π；在区间（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数；
对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，不成立．
故选B

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．