Question

2．已知函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$．
（1）若a=-2，试证f（x）在（-∞，-2）上单调递减；
（2）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，f（x）=-2+$\frac{1}{x+1}$，由定义法可证；
（2）分类常数可得f（x）=a-$\frac{a+1}{x+1}$，由复合函数单调性可得-（a+1）＞0，解不等式可得．

解答 解：（1）当a=-2时，f（x）=$\frac{-2x-1}{x+1}$=$\frac{-2（x+1）+1}{x+1}$=-2+$\frac{1}{x+1}$，
任取x₁＜x₂＜-2，则f（x₁）-f（x₂）=-2+$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+2-$\frac{1}{1+{x}_{2}}$
=$\frac{1+{x}_{2}-1-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，
∴f（x）在（-∞，-2）上单调递减；
（2）f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$=$\frac{a（x+1）-a-1}{x+1}$=a-$\frac{a+1}{x+1}$，
要使函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减，需-（a+1）＞0，
解得a＜-1

点评 本题考查函数单调性的判定和证明，分离常数是解决问题的关键，属基础题．