Question

如图,中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.

（1）证明:;

（2）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）利用定义法或向量法求二面角

【解析】

试题分析：

(1)证法一: 连接                    1分

由题意知,点分别为和的中点,

.                               3分

又平面,平面,   5分

平面.                    6分

证法二:取中点,连,而 分别为与的中点,

,   2分

,, ,

同理可证               4分

又 平面//平面.   5分

平面，平面.     6分

证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线

为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.

于是

,,

向量是 平面的一个法向量   2分

，  4分

又                         5分

平面.                 6分

(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线

为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.

于是,,  8分

由(1)知是平面的一个法向量, .   10分

设平面的法向量为,,,

,

                12分

设向量和向量的夹 角为,则

  13分

二面角的的正弦值为  14分

解法二(几何法):如图,将几何体补形成一 个正方体,连交于点,连,

显然,,都在同一平面上.…………7分

易证,,

平面,平面,

,又

平面.

取中点,连,

分别是的中点

,

平面,   …………9分

且为垂足,即平 面,过点作于,

过作交于,连,

则即是所求二面角的补角. …………11分

在中,,

,,

在中，,

又

在中，， …………12分

. …………13分

所求二面角的正弦值为 …………14分

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：高考中对立体几何解答题的考查一般都体现为一题两法(同一题两种解法：传统法与向量法).而运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上，它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题，淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法，强化了代数运算，从而降低了思维难度，且思路明确，过程较为程序化.