Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥平面MAC；
（2）求三棱锥A-CMA₁的体积；
（3）证明：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA₁，由∠BAC=90°，知AC⊥ABAA₁，由AB?平面AA₁BB₁，知AC⊥平面AA₁BB₁，由此能够证明A₁M⊥平面MAC．
证法二：先证明△A₁CB为等腰三角形，再由点M为A₁B的中点，知A₁M⊥MC，由此能够证明A₁M⊥平面MAC．
（2）由三棱锥A-CMA₁的体积VA-CMA1=VC-AMA1=

1

3

×S△AMA1×CA，能够求出结果．
（3）证法一：连接AB₁，AC₁，得MN∥AC₁，由此能够证明MN∥平面A₁ACC₁．
证法二：取A₁B₁中点P，连MP，NP，得MP∥AA₁，由此能够证明MN∥平面A₁ACC₁．

解答：解：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°∴AC⊥ABAA₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A，
∴AC⊥平面AA₁BB₁，…（1分）
A₁M?平面AA₁BB₁∴A₁M⊥AC．…（2分）
又∵四边形AA₁BB₁为正方形，M为A₁B的中点，
∴A₁M⊥MA…（3分）
AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC…（4分）
∴A₁M⊥平面MAC…（5分）
证法二：在Rt△BAC中，BC=

AB2+AC2

=

22+22

=2

2

在Rt△A₁AC中，A1C=

A1A2+AC2

=

22+22

=2

2

．
∴BC=A₁C，
即△A₁CB为等腰三角形．…（1分）
又点M为A₁B的中点，∴A₁M⊥MC．…（2分）
又∵四边形AA₁BB₁为正方形，M为A₁B的中点，
∴A₁M⊥MA…（3分）AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC…（4分）
∴A₁M⊥平面MAC…（5分）
（2）由（1）的证明可得：
三棱锥A-CMA₁的体积VA-CMA1=VC-AMA1=

1

3

×S△AMA1×CA…（7分）=

1

3

×

1

2

×2×1×2…（8分）
=

2

3

．…（9分）
（3）证法一：连接AB₁，AC₁，…（10分）
由题意知，点M，N分别为AB₁和B₁C₁的中点，∴MN∥AC₁．…（11分）
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，…（13分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（14分）
证法二：取A₁B₁中点P，连MP，NP，…（10分）
而M，P分别为AB₁与A₁B₁的中点，
∴MP∥AA₁，MP?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁，
∴MP∥平面A₁ACC₁，
同理可证NP∥平面A₁ACC₁…（11分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A₁ACC₁．…（12分）
∵MN?平面MNP，…（13分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．