Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥MC；
（2）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（3）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证法一：先证明AC⊥平面AA₁BB₁，再证明A₁M⊥平面MCA，即可证得A₁M⊥MC；
证法二：建立空间直角坐标系A-xyz，证明

A1M

•

MC

=0即可；
（2）证法一：利用三角形中位线的性质，证明MN∥AC₁，利用线面平行的判定证明MN∥平面A₁ACC₁；
证法二：取A₁B₁中点P，连MP，NP，证明平面MNP∥平面A₁ACC₁，可得MN∥平面A₁ACC₁；
证法三（向量法）：建立空间直角坐标系，确定向量

AB

=(2，0，0)是平面A₁ACC₁的一个法向量，证明

AB

•

MN

=0；
（3）解法一：建立空间直角坐标系A-xyz，求得

MA1

是平面MCA的一个法向量，平面NMC的法向量

n

=(3，1，-1)，
利用向量的夹角公式，可得结论；
解法二（几何法）：将几何体补形成一个正方体，连DC₁，CD₁交于点O，连B₁A，B₁O，取B₁O中点H，连NH，过H作HQ∥OP交MC于Q，连NQ，则∠NQH即是所求二面角N-MC-A的补角，从而可求二面角N-MC-A的正弦值．

解答：证明：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵AA₁?平面AA₁BB₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A
∴AC⊥平面AA₁BB₁，
∵A₁M?平面AA₁BB₁，∴A₁M⊥AC．…（1分）
又∵四边形AA₁BB₁为正方形，M为A₁B的中点，∴A₁M⊥MA…（2分）
∵AC∩MA=A，AC?平面MCA，MA?平面MCA
∴A₁M⊥平面MCA…（3分）
又MC?平面MCA…（4分）∴A₁M⊥MC．…（5分）
证法二：（向量法） 以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．…（1分）
于是C（0，2，0），A₁（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（2分）
∴

A1M

=(1，0，-1)，

MC

=(-1，2，-1)…（3分）
∴

A1M

•

MC

=(-1)×1+0×2+(-1)×(-1)=0…（4分）∴A₁M⊥MC．…（5分）
（2）证法一：连接AB₁，AC₁，…（6分）
由题意知，点M，N分别为AB₁和B₁C₁的中点，∴MN∥AC₁．…（7分）
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（9分）
证法二：取A₁B₁中点P，连MP，NP，而M，N
分别为AB₁与B₁C₁的中点，∴MP∥AA₁，MP?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁∴MP∥平面A₁ACC₁，
同理可证NP∥平面A₁ACC₁…（6分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A₁ACC₁．…（7分）
∵MN?平面MNP，…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（9分）
证法三（向量法）：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．于是A（0，0，0），B（2，0，0），M（1，0，1），N（1，1，2）．
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AC∩AA₁=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁
∴向量

AB

=(2，0，0)是平面A₁ACC₁的一个法向量    …（6分）
∵

MN

=(0，1，1)
∴

AB

•

MN

=2×0+0×1+0×1=0
∴AB⊥MN…（7分）
又MN?平面A₁ACC₁…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁…（9分）
（3）解法一：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
于是A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（10分）
由（1）知

MA1

是平面MCA的一个法向量，

MA1

=(-1，0，1)．…（11分）
设平面NMC的法向量为

n

=(x，y，z)，

MN

=(0，1，1)，

MC

=(-1，2，-1)

n • MN =0 n • MC =0

，∴

y+z=0 -x+2y-z=0

，∴

y=-z x=-3z

∴

n

=(3，1，-1)…（12分）
设向量

MA1

和向量

n

的夹角为θ，则cosθ=

MA1 • n

| MA1 |•| n |

=

(-1)×3+0×1+1×(-1)

(-1)2+02+12 × 32+12+(-1)2

=-

4

22

…（13分）
∴二面角N-MC-A的正弦值为

1-cos2θ

=

1- 8 11

=

33

11

．…（14分）
解法二（几何法）：如图，将几何体补形成一个正方体，连DC₁，CD₁交于点O，连B₁A，B₁O，显然，A，M，C，B₁，D₁，O都在同一平面ACB₁D₁上，则B₁O∥MC，C₁O⊥CD₁，
∵B₁D₁⊥平面CC₁DD₁，C₁O?平面CC₁DD₁，
∴C₁O⊥B₁D₁，又B₁D₁∩D₁C=O
∴C₁O⊥平面ACB₁D₁．
取B₁O中点H，连NH，
∵N，H分别是B₁O，B₁C₁的中点
∴NH∥C₁O，∴NH⊥平面ACB₁D₁，…（10分）
且H为垂足，即NH⊥平面AMC，过点O作OP⊥MC于P，
过H作HQ∥OP交MC于Q，连NQ，则∠NQH即是所求二面角N-MC-A的补角．…（11分）
在Rt△MAC中，CM=

AC2+AM2

=

22+( 2 )2

=

6

，sin∠MCA=

AM

MC

=

2

6

=

1

3

，sin∠OCP=sin(

π

2

-∠MCA)=cos∠MCA=

1- 1 3

=

6

3

，
在Rt△OPC中，sin∠OCP=

OP

2

，∴OP=

2

×

6

3

=

2 3

3

∴HQ=OP=

2 3

3

．
又MH=

1

2

C 1O=

2

2

．
∴在Rt△NHQ中，NQ=

NH2+HQ2

=

1 2 + 4 3

=

11

6

，…（12分）
∴sin∠NQH=

NH

NQ

=

2 2

11 6

=

33

11

．…（13分）
∴所求二面角N-MC-A的正弦值为sin(π-∠NQH)=sin∠NQH=

33

11

．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力