Question

18．（1）证明：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
（2）用数学归纳法证明：2+5+8+…+（3n-1）=$\frac{（3n+1）n}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）使用作差法证明即可；
（2）先验证n=1结论是否成立，再假设n=k结论成立，推导n=k+1时的情况，观察结论是否成立，得出结论．

解答 证明：（1）要证（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
只需证（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²≥0，
即（a²c²+a²d²+c²b²+b²d²）-（a²c²+2abcd+b²d²）≥0
只需证a²d²+c²b²-2abcd≥0
显然：a²d²+c²b²-2abcd=（ad-bc）²≥0
∴不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²成立．
（2）①当n=1时，左边=2，右边=2，故n=1时，结论成立．
②假设当n=k时，原式成立，
即2+5+8+…+（3k-1）=$\frac{（3k+1）k}{2}$，
则当n=k+1时，
2+5+8+…+（3k-1）+（3k+2）
=$\frac{（3k+1）k}{2}$+（3k+2）
=$\frac{{3{k^2}+7k+4}}{2}$
=$\frac{{[{3（k+1）+1}]（k+1）}}{2}$
故n=k+1时，原式也成立．
综上可知2+5+8+…+（3n-1）=$\frac{（3n+1）n}{2}$（n∈N^*）成立．

点评 本题考查了数学归纳法的证明，分析法推理证明．属于中档题．