Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=6，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再计算∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²，开方即为答案；
（2）根据（$\vec a$+$\vec b$）•（$\vec a$-$\vec b$）=0得出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\vec a$||$\vec b$|cosθ=6×6×cos$\frac{π}{3}$=18，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=36+36+36=108，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=36-36+36=36．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{108}$=6$\sqrt{3}$，|$\vec a$-$\vec b$|=$\sqrt{36}$=6．
（2）∵（$\vec a$+$\vec b$）•（$\vec a$-$\vec b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，∴$\vec a$+$\vec b$与$\vec a$-$\vec b$的夹角为90°．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算性质，属于中档题．