题目内容

8．抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心，而焦点是双曲线的左焦点，求此抛物线的标准方程．

分析 双曲线16x2-9y2=144，变形为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．其中心为原点O（0，0），可得左焦点F（-5，0）．可设抛物线的标准方程为：y2=-2px（p＞0）．即可得出．

解答 解：双曲线16x2-9y2=144，变形为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
其中心为原点O（0，0），c=$\sqrt{9+16}$=5，可得左焦点F（-5，0）．
可设抛物线的标准方程为：y2=-2px（p＞0）．
∴$\frac{p}{2}$=5，解得p=10．
∴此抛物线的标准方程为：y2=-20x．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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18．某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，高一年级的五名同学准备参加“文学社”、“魔术社”、“思辨社”、“公益社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，同学甲不参加“魔术社”，同学乙与同学丙不在同一个社团，则不同参加方法的种数为（　　）
A．72B．162C．180D．216
19．已知抛物线C1的方程为：x2=4y，圆C的方程为：x2+（y+r）2=r2（r＞0），直线l为抛物线C1和圆C2的公共切线，切点分别为A及C′，F为抛物线C1的焦点，连结A，F交抛物线于点B．
（1）当r=1时，求直线l的方程；
（2）用r表示△ABC的面积．
16．过点M（2，0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，直线OA，OB（O为坐标原点）与抛物线C的准线分别交于点S，T．
（1）设F为抛物线C的焦点，k1，k2分别为直线FS，FT的斜率，求k1k2的值；
（2）求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的取值范围．
3．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点坐标都是（c，0），抛物线的准线方程为x=-$\frac{2{a}^{2}}{c}$，则双曲线的渐近线方程为y=±x．
13．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-1．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过F作圆M：（x+$\frac{9}{2}$）2+y2=9的切线，切点分别为C，D，求$\overrightarrow{FC}$$•\overrightarrow{FD}$．
20．已知点P（20，b）是抛物线x2=2py（p＞0）上一点，焦点为F，|PF|=25，则该抛物线的方程为（　　）
A．x2=20yB．x2=40yC．x2=20y或x2=40yD．x2=20y或x2=80y
17．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0，8）为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是$\frac{2}{3}$．
18．（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
（2）用数学归纳法证明：2+5+8+…+（3n-1）=$\frac{（3n+1）n}{2}$（n∈N*）．

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