Question

△ABC中，sinA=sinB=-cosC
（1）求A，B，C．
（2）若BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由sinA=sinB，得到A=B，再由诱导公式得到cosC=-cos2A，代入sinA=-cosC中，变形求出sinA的值，由A为三角形内角求出A的度数，即可确定出B，C的度数；
（2）设CA=CB=x，表示出CM，在三角形ACM中，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出CA与CB的长，即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵sinA=sinB，且A，B为△ABC的内角，
∴A=B，
∵A+B+C=π，
∴cosC=cos（π-2A）=-cos2A，
∴sinA=-cosC=cos2A=1-2sin²A，即（2sinA-1）（sinA+1）=0，
∴sinA=

1

2

，或sinA=-1（舍去），
∴A=B=

π

6

，C=

2π

3

；
（2）设CA=CB=x，则CM=

1

2

x，
在△ACM中，利用余弦定理得：AM²=AC²+MC²-2AC•CM•cosC，即7=x²+

1

4

x²+

1

2

x²，
解得：x=2，
则S_△ABC=

1

2

CA•CB•sinC=

3

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．