Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．
（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）证明：BD⊥AE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；
（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．

解答： 证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，
则有FG∥AB且FG=

1

2

AB=2，
又因为DC∥AB，CD=2，
所以FG∥DC，FG∥DC，
所以四边形CFGD是平行四边形．
所以CF∥GD，
又因为GD?平面ADE，CF?平面ADE，
所以CF∥平面ADE；
（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，
所以BD=2

2

．
同理EA⊥ED，EA=ED=2，
所以AD=2

2

．
又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，
又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面EAD，
又因为AE?平面EAD，
所以BD⊥AE．

点评：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．