Question

已知函数f（x）满足f（1）=1，且对任意正整数n都有f（1）+f（2）+…+f（n）=n²f（n），则2015•f（2014）的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用迭代法，把f（n）用f（1）和含n的式子表示，即可求出2015•f（2014）．

解答： 解：∵f（1）+f（2）+…+f（n）=n²f（n），
∴f（1）+f（2）+…+f（n-1）=（n-1）²f（n-1）．
∴f（n）=n²f（n）-（n-1）²f（n-1）
∴（n+1）f（n）=（n-1）f（n-1），
∴（n+1）f（n）=（n-1）f（n-1）=

(n-1)(n-2)

n

f(n-2)=…=

2×1

n

f（1），
∵f（1）=1，
∴2015•f（2014）=

2

2014

=

1

1007

．
故答案为：

1

1007

．

点评：本题考查数列的应用，考查了迭代法求数列的和，属于数列求和的常规题．