Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求直线PB与底面ABCD所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥BD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥底面ABCD，得∠PBA是直线PB与底面ABCD所成的角，由此能求出直线PB与底面ABCD所成的角．

解答： （1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，
∴∠PBA是直线PB与底面ABCD所成的角，
∵PA=AD，
∴∠PBA=45°．
∴直线PB与底面ABCD所成的角为45°．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与底面所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．