Question

如图，在五面体，ABCDF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF＝．

         （1）证明EO∥平面ABF；

         （2）问为何值时，有OF⊥ABE，试证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

解析:

（1）证明：取AB中点M，连结OM．                 2分

在矩形ABCD中，OM＝，

又EF＝，则EF＝OM，

连结FM，于是四边形EFMO为平行四边形．∴OE∥FM．                                  4分

又∵EO平面ABF，FM平面ABF，∴EO∥平面ABF．                                    6分

（2）解：∵OF⊥平面ABE，连结EM．

∵EM平面ABE．∴OF⊥EM，又四边形OEFM为平行四边形．

∴□OEFM为菱形．                                                                                                               8分

∴OM＝MF，设OM＝a，则BC＝2a．

在正△ABF中，MF＝a，∴a＝，∴．                                10分

∴CD＝，∴

综上可知，当时，有OF⊥平面ABE．                                                    12分