Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=EF=

1

2

AD
（1）求异面直线AC和DE所成的角
（2）求二面角A-CD-E的大小
（3）若Q为EF的中点，P为AC上一点，当

AP

PC

为何值时，PQ∥平面EDC？

Answer 1

分析：（1）以AB，AD，AF所在直线为坐标轴建立坐标系，求出cos ＜

AC

，

DE

＞的值，即可得到异面直线AC和DE所成的角．
（2）求出两个平面的法向量的坐标，即可求得这两个法向量的夹角的余弦值，从而得到二面角A-CD-E的大小．
（3）设P（x，y，0），由

AP

=λ

PC

得到

PQ

的坐标，由

PQ

= m

DE

+ n

CD

 求得λ值，即得所求．

解答：解：（1）以AB，AD，AF所在直线为坐标轴建立坐标系，如图：
设AD=2，则 A（0，0，0），C（1，-1，0），D（0，-2，0），
 E（0，-1，1），F（0，0，1）．
∴

AC

=(1，-1，0) ，

DE

=(0，1，1)，∴cos＜

AC

，

DE

＞=

-1

2 • 2

=-

1

2

，
∴异面直线AC和DE所成的角为60°．
（2）

DE

=(0，1，1) ，

CD

=(-1，-1，0)，
设平面CDE的法向量为

n1

=(x，y，z)，则

y+z=0 x+y=0

，取x=1，y=-1，z=1，故

n1

=(1，-1，1)．
平面CDA的一个法向量为

n2

=(0，0，1)，cos＜

n2

，

n2

＞=

1

3 ×1

=

3

3

，
所以二面角A-CD-E的大小为arccos

3

3

．
（3）Q(0，-

1

2

，1)，设P（x，y，0），

PQ

=(-x，-

1

2

-y，1)，由

AP

=λ

PC

得

x= λ λ+1 y=- λ λ+1

，

PQ

=(-

λ

λ+1

，-

1

2

+

λ

λ+1

，1)，
令

PQ

=m

DE

+n

CD

，求得λ=3，因此

AP

PC

的值为3时，PQ∥平面EDC．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，证明线面平行的方法，求二面角的大小，体现了转化的数学思想，
准确求出有关向量的坐标是解题的关键．