Question

如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=

π

2

，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=

7

，求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；
（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值．

Answer 1

分析：解法一：（几何法）（Ⅰ）AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，故可过A作平面EFCD的垂线，注意到面AFD⊥面EFDC，故只需过A作FD的垂线即可．
（Ⅱ）由已知条件做出二面角F-AD-E的平面角，再求解．已知FA⊥AD，再可求证EA⊥AD，故，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，再解△AEF即可．
解法二：（向量法）由AB、AD、AF两两垂直，故可通过向量法求解．
（Ⅰ）求平面EFCD的法向量

m

，则直线AB到平面EFCD的距离=

PA • m

| m |

（Ⅱ）分别求出两个面的法向量，再求两个法向量的余弦，即二面角F-AD-E的平面角的余弦，再求正切即可．

解答：解：法一：
（Ⅰ）∵AB∥DC，DC?平面EFCD，
∴AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，
过点A作AG⊥FD于G，因∠BAD=

π

2

AB∥DC，
故CD⊥AD；又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，CD⊥FD，
故CD⊥面FAD，知CD⊥AG，
所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离．
在Rt△FCD中，FD=

FC2-CD2

=

9-4

=

5

由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中
FA=

FD2-AD2

=

5-4

=1
∴AG=

FA•AD

FD

=

2

5

=

2 5

5

．
即直线AB到平面EFCD的距离为

2 5

5

．
（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由∠BAD=

π

2

，知AD⊥AB，
故AD⊥平面ABFE∴DA⊥AE，
所以，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为θ．
在Rt△AED中，AE=

ED2-AD2

=

7-4

=

3

，
由平行四边形ABCD得，FE∥BA，从而∠AFE=

π

2

在Rt△AEF中，FE=

AE2-AF2

=

3-1

=

2

，
故tanθ=

FE

FA

=

2

所以二面角F-AD-E的平面角的正切值为

2

．

法二：
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点，

AB

，

AD

，

AF

的方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系数，则A（0，0，0）
C（2，2，0）D（0，2，0）设F（0，0，z₀）（z₀＞0）可得

FC

=(2，2，-z0)，
由|

FC

|=3．即

22+22+ z 2 0

=3，
解得F（0，0，1）
∵AB∥DC，DC?面EFCD，
所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离．
设A点在平面EFCD上的射影点为G（x₁，y₁，z₁），
则

AG

=(

x

1

，y1，z1)因

AG

•

DF

=0且

AG

•

CD

=0，
而

DF

=(0，-2，1)

CD

=(-2，0，0)，
此即

-2y1+z1=0 -2x1=0

解得x₁=0①，知G点在yoz面上，
故G点在FD上.

GF

∥

DF

，

GF

=(-

x

1

，-y1，-z1+1)
故有

y1

2

=-z 1+1②联立①，②解得，G(0，

2

5

，

4

5

)
∴|

AG

|为直线AB到面EFCD的距离．
而

AG

=(0，

2

5

，

4

5

)所以|

AG

|=

2 5

5

（Ⅱ）因四边形ABFE为平行四边形，
则可设E（x₀，0，1）（x₀＜0），

ED

=(-x0，2，-1)．
由|

ED

|=

7

得

x 2 0 +22+1

=

7

，
解得x 0=-

2

．即E(-

2

，0，1)．故

AE

=(-

2

，0，1)
由

AD

=(0，2，0)，

AF

=(0，0，1)
因

AD

•

AE

=0，

AD

•

AF

=0，
故∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，
又∵

EF

=(

2

，0，0)，|

EF

|=

2

，|

AF

|=1，
所以tan∠FAE=

| EF |

| FA |

=

2

点评：本题考查空间的角和空间距离的计算，考查空间想象能力和运算能力．注意几何法和向量法的应用．