Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

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AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；
（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．

解答：（1）解：由题设知，BF∥CE，
所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．
设P为AD的中点，连接EP，PC．
因为FE₌^∥AP，所以FA₌^∥EP，同理AB₌^∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD内，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，
则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=

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a，故∠CED=60°．
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，
所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，
故CE⊥平面AMD．而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE．
（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．
因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，
所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角．
可得，EP⊥PQ，EQ=

6

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a，PQ=

2

2

a．于是在Rt△EPQ中，cos∠EQP=

PQ

EQ

=

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3

点评：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．