Question

（2012•焦作模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

(α为参数)．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析：将直线l的极坐标方程左边利用两角和与差的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值化简，整理后化为直角坐标方程，设曲线C上的点P坐标为（2cosα，sinα），利用点到直线的距离公式表示出点P到直线l的距离，利用两角和与差的正弦函数公式整理后，利用正弦函数的值域即可求出d的最小值．

解答：解：将ρcos（θ-

π

4

）=2

2

化简为：

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=2

2

，即ρcosθ+ρsinθ=4，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4，
设点P的坐标为（2cosα，sinα），
可得点P到直线l的距离d=

|2cosα+sinα-4|

2

=

| 5 sin(α+γ)-4|

2

（其中cosγ=

5

5

，sinγ=

2 5

5

），
则当sin（α+γ）=1时，d_min=

4- 5

2

=2

2

-

10

2

．

点评：此题考查了圆的参数方程，直线的极坐标方程，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及点的极坐标与直角坐标的互化，其中弄清极坐标与直角坐标的互化是本题的突破点．