Question

（2012•焦作模拟）已知函数f（x）=mx²+lnx-2x．
（1）若m=-4，求函数f（x）的最大值．
（2）若f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，从而可得函数的最值；
（2）令导数大于等于0，再利用分离参数法，确定相应函数的最值，即可求实数m的取值范围．

解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=2mx+

1

x

-2．…（1分）
（1）当m=-4时，f′(x)=-8x+

1

x

-2，
令f'（x）=0，得x=

1

4

或-

1

2

（舍去）．…（3分）
列表：

x	(0， 1 4 )	1 4	( 1 4 ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值：-2ln2- 3 4	↘

故函数f（x）的最大值为-2ln2-

3

4

．…（6分）
（2）令f'（x）≥0，即2mx+

1

x

-2≥0，

2mx2-2x+1

x

≥0．
∵x＞0，∴2mx²-2x+1≥0．
∵f（x）在定义域内为增函数，∴2mx²-2x+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
即m≥(

1

x

-

1

2x2

)max．…（9分）
当x∈（0，+∞）时，

1

x

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

)2+

1

x

，
当

1

x

=1时，取得(

1

x

-

1

2x2

)max=

1

2

．
故m≥

1

2

．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，解题的关键是转化为恒成立问题，再利用分离参数法求解．