Question

17．如图，三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC
（Ⅰ）求证：VA⊥平面ABC
（Ⅱ）已知AC=3，AB=2BC=2$\sqrt{3}$，三棱锥V-ABC的外接球的半径为3，求二面角V-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （I）作出△ABC的边AB，AC边上的高CD，BE，则由面面垂直的性质可得CD⊥VA，BE⊥VA，故而VA⊥平面ABC；
（II）由勾股定理得BC⊥AC，从而可证BC⊥平面VAC，于是BC⊥VC，即∠VCA为二面角V-BC-A的平面角，根据外接球半径计算VA，得出VC，故而cos∠VCA=$\frac{AC}{VC}$．

解答 证明：（I）设△ABC的边AC上的高为BE，边AB上的高为CD，
∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，CD⊥AB，
∴CD⊥平面VAB，又VA?平面VAB，
∴CD⊥VA，
同理可得：BE⊥VA，
又CD?平面ABC，BE?平面ABC，CD与BE为相交直线，
∴VA⊥平面ABC．
（II）∵AC=3，AB=2BC=2$\sqrt{3}$，∴BC²+AC²=AB²，
∴BC⊥AC，
由（I）可知VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，
又AC∩VA=A，AC?平面VAC，VA?平面VAC，
∴BC⊥平面VAC，∴BC⊥VC．
∴∠VCA为二面角V-BC-A的平面角，
设AB的中点为M，过M做OM∥VA，使得OM=$\frac{1}{2}$VA，则O为三棱锥V-ABC的外接球的球心，
∴OA=3，∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴VA=2OM=2$\sqrt{6}$，VC=$\sqrt{V{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{33}$．
∴cos∠VCA=$\frac{AC}{VC}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．