Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，且PD⊥底面ABCD，PD=AB，点M的是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求平面PDC与平面BDM所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，交BD于点O，由已知得MO∥PA，由此能证明PA∥面MBD．
（2）由线面垂直得PD⊥BC，由已知得BC⊥CD，从而BC⊥面PDC，又在Rt△PDC中，DM⊥MC，进而∠BMC为平面PDC与平面BDM所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PDC与平面BDM所成锐角二面角的余弦值．

解答： 解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，
∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，
∴O是AC中点，
在△PAC中，点M的是PC的中点，
MO是中位线，∴MO∥PA，
又MO?面MBD，PA?面MBD，∴PA∥面MBD．
（2）解：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥面PDC，又在Rt△PDC中，DM⊥MC，
∴DM⊥MB，∴∠BMC为平面PDC与平面BDM所成锐二面角的平面角，
在Rt△BMC中，∵BC=2，CM=

2

，BM=

6

，
∴cos∠BMC=

MC

MB

=

2

6

=

3

3

，
∴平面PDC与平面BDM所成锐角二面角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．