Question

已知函数f（x）=x²+ax+2且sinα，sin（α+

π

3

）是函数y=f（x）-

11

2

x-

3

2

的两个零点，其中α∈（0，

π

2

）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=2e^x（x+1）对任意x≥-2，f（x）≤kg（x）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,两角和与差的正弦函数

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据韦达定理得到sinα+sin（α+

π

3

）=

11

2

-a，sinα•sin（α+

π

3

）=

1

2

，再根据三角函数中的积化和差求出α的值，继而求出a的值，
（2）构造函数F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，再求导，需要分类讨论，利用导数求出函数的最小值，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+ax+2，函数y=f（x）-

11

2

x-

3

2

，
∴y=x²+ax+2-

11

2

x-

3

2

=x²-（

11

2

-a）x+

1

2

，
∴sinα+sin（α+

π

3

）=

11

2

-a，sinα•sin（α+

π

3

）=

1

2

，
∵sinα•sin（α+

π

3

）=

1

2

[cos

π

3

-cos（2α+

π

3

）]=

1

2

，
∴cos（2α+

π

3

）=-

1

2

，
∵α∈（0，

π

2

）．
∴2α+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴2α+

π

3

=

2π

3

，
∴α=

π

6

，
∴sinα+sin（α+

π

3

）=sin

π

6

+sin（

π

6

+

π

3

）=

3

2

=

11

2

-a，
∴a=4，
（2）由（1）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1）．
设函数F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
则F′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1）．
（ⅰ）若1≤k＜e²，则-2＜x₁≤0，从而当x∈（-2，x₁）时，F′（x）＜0；
当x∈（x₁，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，x₁）上单调递减，在（x₁，+∞）上单调递增，
故F（x）在[-2，+∞）上的最小值为F（x₁）．
而F（x₁）=2x₁+2-x-4x₁-2=-x₁（x₁+2）≥0．
故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
（ⅱ）若k=e²，则F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2）．
从而当x＞-2时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，+∞）上单调递增．而F（-2）=0，
故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
综上所述，k的取值范围为[1，e²]

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用以及三角函数的关系，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．