Question

已知函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）当x∈[0，π]时，求该函数的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，然后，结合正弦函数的最值情形进行求解；
（2）结合正弦函数的单调区间，并结合本题条件x∈[0，π]确定该函数的增区间．

解答： 解：（1）∵y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
∴y=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1
=

1

2

（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∴y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
令2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，x=kπ+

π

6

，k∈Z．
此时y有最大值

7

4

．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∵x∈[0，π]，
∴该函数的单调增区间[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

点评：本题属于中档题，重点考查了三角恒等变换公式及其灵活运用、三角函数的图象与性质等知识，本题解题关键是灵活运用正弦函数的性质进行求解．