Question

12．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为$\frac{81}{4}$，则前4项倒数的和为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设此等比数列的首项为a₁，公比为q，前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，由等比数列性质推导出P2=（$\frac{S}{M}$）4，由此能求出前4项倒数的和．

解答 解：∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为$\frac{81}{4}$，
∴设此等比数列的首项为a₁，公比为q
前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，
若q=1，则$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}=9}\\{{{a}_{1}}^{4}=\frac{81}{4}}\end{array}\right.$，无解；
若q≠1，则S=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，M=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{4}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{{q}^{4}-1}{{a}_{1}（{q}^{4}-{q}^{3}）}$，P=a₁⁴q⁶，
∴（$\frac{S}{M}$）4=（a₁²q³）⁴=a₁⁸q¹²，P²=a₁⁸q¹²，∴P2=（$\frac{S}{M}$）4，
∵$S=9，P=\frac{81}{4}$，
∴前4项倒数的和M=$\frac{S}{\sqrt{P}}$=$\frac{9}{\sqrt{\frac{81}{4}}}$=2．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的前4项倒数的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．