题目内容

（2010•成都一模）如图，设A、B、C是球O面上的三点，我们把大圆的劣弧
BC
、
CA
、
AB
在球面上围成的部分叫做球面三角形，记作球面三角形ABC，在球面三角形ABC中，OA=1，设
BC
=a，
CA
=b，
AB
=c，a，b．c∈(0，π)，二面角B-OA-C、
C-OB-A、A-OC-B的大小分别为α、β、γ，给出下列命题：
①若α=β=γ=
π
2
，则球面三角形ABC的面积为
π
2
；
②若a=b=c=
π
3
，则四面体OABC的侧面积为
π
2
；
③圆弧
AB
在点A处的切线l1与圆弧
CA
在点A处的切线l2的夹角等于a；
④若a=b，则α=β．
其中你认为正确的所有命题的序号是
①②④
①②④
．
分析：由α=β=γ=
π
2
，知球面三角形ABC是
1
8
球体，故球面三角形ABC的面积=
1
8
×4π×12=
π
2
；由a=b=c=
π
3
，知四面体OABC的面积=3×
1
2
×1×
π
3
=
π
2
，；圆弧
AB
在点A处的切线l1在OAB面上与OA垂直，圆弧
CA
在点A处的切线l2在OAC面上与OA垂直，故l1与l2夹角等于α；若a=b，则α=β．
解答：解：∵α=β=γ=
π
2
，
∴球面三角形ABC是
1
8
球体，
∴球面三角形ABC的面积=
1
8
×4π×12=
π
2
．
故①正确；
∵a=b=c=
π
3
，
∴四面体OABC的侧面积=3×
1
2
×1×
π
3
=
π
2
，
故②正确；
∵圆弧
AB
在点A处的切线l1在OAB面上与OA垂直，
圆弧
CA
在点A处的切线l2在OAC面上与OA垂直，
∴l1与l2夹角等于α，不一定等于a，
故③不正确；
若a=b，由图形的对称性知，α=β．故④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查球面三角形的概率和应用，是基础题．解题时要认真审题，熟练掌握球球面三角形的性质和应用．
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1
3
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3
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