Question

（2010•成都一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，在四边形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=2，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥平面BCF；
（2）求二面角B-FC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）首先利用平面ABFE与平面ABCD互相垂直，结合面面垂直的性质得到AF与CB垂直，然后利用余弦定理在△ABF中计算出BF的长，从而BF²+AF²=AB²，得出AF⊥FB，最后运用直线与平面垂直的判定定理，得到AF⊥平面BCF；
（2）分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．分别求出平面CDEF的法向量与平面BCF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得．

解答：证明：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，CB⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴CB⊥平面ABFE，
∵AF?平面ABFE，
∴CB⊥AF，
在直角梯形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AE=EF=2
∴AF=

AE2+EF2

=2

2

∴∠FAB=45°
△ABF中，AB=4，根据余弦定理得：
BF=

AF2+AB2-2AF•AB

=2

2

∴BF²+AF²=AB²，
∴AF⊥FB．
∵CB∩FB=B，
∴AF⊥平面BCF．…（6分）
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．
分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．
∴

DC

=（0，4，0），

DE

=（-2，0，2）．
设

n1

=（x，y，z）为平面CDEF的法向量，
则

n1 • DC =0 n1 • DE =0

⇒

y=0 -x+z=0

令x=1，则z=1，则

n1

=（1，0，1）
由（1）知

n2

= 

AF

=（0，2，2）=2（0，1，1）为平面BCF的法向量．…（10分）
∵cos＜

n1

，

n2

＞= 

n1 • n2

|  n1 |•|  n2 |

=

1

2

，且B-FC-D为钝角，
∴二面角B-FC-D的大小为120°…（12分）

点评：本题是一道立体几何的综合题，着重考查了平面与平面垂直的性质及直线与平面垂直的判定，考查面面角，考查向量知识的运用，属于中档题．