Question

17．下列四种说法中，
①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²-x＜0”；
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知数据x₁，x₂，…，x_n的平均数$\overline{x}$=5，方差S²=4，则数据2x₁+1，2x₂+1，…2x_n+1的平均数和方差分别为11和16；
④已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，1），则向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上的投影是$\frac{2}{5}$；
⑤f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极小值10，则a+b=0或a+b=7．
说法正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²-x≤0”，错误；
②命题“p且q为真”，则p，q均为真，“p或q为真”，则p，q至少有一个为真，故命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，不正确；
③已知数据x₁，x₂，…，x₀的平均数$\overline{x}$=5，方差S²=4，利用平均数和方差公式E（aX+b）=aE（X）+b及D（aX+b）=a²D（X），可得数据2x₁+1，2x₂+1，…2x_n+1的平均数和方差分别为11和16，正确；
④已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，1），则向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上的投影是$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6-4}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，不正确；
⑤∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²，∴f'（x）=3x²+2ax+b，又∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，
∴f′（1）=0且f（1）=10，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，当a=4，b=-11时，$f′（x）=3（x+\frac{11}{3}）（x-1）$，f（x）在（-∞，-$\frac{11}{3}$）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）²≥0，f（x）在R上单增，无极值．
∴a=4，b=-11，故a+b=7，不正确．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断，考查命题的否定、复合命题的真假判断，考查向量运算，考查函数在某点取得极值的条件，属于中档题．