Question

5．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈Z）的图象关于y轴对称且与x轴、y轴无交点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数g（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{b}{xf（x）}$的奇偶性（a、b∈R）．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的性质确定m即可求函数f（x）的解析式，并画出它的图象；
（2）求出g（x）的表达式，根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）的图象与x轴、y轴无交点，
则m²-2m-3≤0，解得-1≤m≤3，
∵m∈Z，∴m=-1，0，1，2，3
若m=0，f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$是奇函数，关于y轴不对称，不满足条件．
若m=1，f（x）=x^-4=$\frac{1}{{x}^{4}}$是偶函数，关于y轴对称，满足条件．
若m=2，f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$是奇函数，关于y轴不对称，不满足条件．
∴m=1，f（x）=x^-4；
当m=-1或m=3时，f（x）=x⁰=1，是偶函数，满足条件．
（2）g（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{b}{xf（x）}$=a$\sqrt{{x}^{-4}}$-$\frac{b}{x•{x}^{-4}}$=ax^-2-bx³，
∵y=x^-2是偶函数，y=x³是奇函数
①a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②a=0且b≠0时，F（x）为奇函数；
③a≠0且b=0时，F（x）为偶函数；
④a=b=0时，F（x）为奇且偶函数．

点评 本题主要考查幂函数的性以及幂函数解析式的求解，函数奇偶性的判断，考查学生推理运算能力．