Question

已知函数f（x）定义域为D，若?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边长，则称f（x）为定义在D上的“保三角函数”，以下说法正确的是

 

．
①f（x）=1（x∈R）不是R上的“保三角函数”
②若定义在R上的函数f（x）的值域为[

2

，2]，则f（x）一定是R上的“保三角函数”
③f（x）=

1

x2+1

使其定义域上的“保三角函数”
④当t＞1时，函数f（x）=e^x+t一定是[0，1]上的“保三角函数”

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由题设，根据“保三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项．对①可举正三角形，即可判断；对②由

2

+

2

＞2，即可判断；对于③，举a=0，b=3，c=3，即可验证；对④求出[0，1]时函数的值域，
设x，y，z是f（x）的三个函数值，且x≥y≥z，验证x-z与y的大小，注意t＞1，即可判断．

解答： 解：对于①选项，由题设所给的定义知，?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）
都是某一正三角形的三边长，是“保三角形函数”，故①选项错误；
对于②选项，由于

2

+

2

＞2，可知，定义在R上的函数f（x）的值域是[

2

，2]，
则f（x）一定是“保三角形函数”，故②正确；
对于③选项，当a=0，b=3，c=3时，f（a）=1＞f（b）+f（c）=

1

5

，不构成三角形，故③错误；
对于④选项，当0≤x≤1，e^x∈[1，e]，又t＞1，则f（x）∈[1+t，e+t]，
设x，y，z是f（x）的三个函数值，且x≥y≥z，则x-z≤（e+t）-（t+1）=e-1＜2＜1+t≤y，
即有x-z＜y，即y+z＞x成立，故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查综合法推理及函数的值域，三角形的性质，理解新定义是解答的关键．