Question

2．已知点A是抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据等等边三角形的性质求出A点坐标，代入抛物线方程计算p．

解答 解：由抛物线的对称性可知A，B关于y轴对称，不妨设A（a，b）在第一象限．
∵△ABO为等边三角形，∴∠AOM=30°．
∵|MA|=|MO|=10，∴∠OMA=120°．
∴|OA|=$\sqrt{|O{M|}^{2}+|MA{|}^{2}-2|OM|•|MA|cos120°}$=10$\sqrt{3}$．
∴A（5$\sqrt{3}$，15）．
∴（5$\sqrt{3}$）²=2p×15，解得p=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，解三角形，属于基础题．