Question

8．已知点A（x₁，lgx₁），B（x₂，lgx₂）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$＜lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立．运用类比思想方法可知，若点A（x₁，${2}^{{x}_{1}}$），B（x₂，${2}^{{x}_{2}}$） 是函数g（x）=2^x的图象上的不同两点，则类似地有$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$成立．

Answer 1

分析 在对数函数中，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，而在指数函数中，线段AB两点总是位于A，B两点之间函数图象的上方，类比对数函数中的结论可得指数函数g（x）=2^x中，有$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$成立．

解答 解：A（x₁，lgx₁），B（x₂，lgx₂）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，
有结论$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$＜lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立．
类比上式可得：若点A（x₁，${2}^{{x}_{1}}$），B（x₂，${2}^{{x}_{2}}$）是y=g（x）上两点，而线段AB两点总是位于A，B两点之间函数图象的上方，
有结论：$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．
故答案为：$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．

点评 本题借助类别推理，通过函数图象的形状考查了函数的不等关系，属于中档题．