Question

4．若函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1（a∈R）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点x₁，x₂（x₁≠x₂），则x₁+x₂+sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）+sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）的取值范围是（　　）

• A． [1+$\frac{π}{6}$，2+$\frac{π}{6}$）
• B． [1+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$）
• C． [$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{6}$，1+$\frac{π}{6}$）
• D． [$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{3}$，1+$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意可得x=$\frac{π}{6}$是y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象的一条对称轴，x₁+x₂ =$\frac{π}{3}$，且2sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=1-a，由此求得x₁+x₂+sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）+sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）的取值范围．

解答 解：函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1（a∈R）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点x₁，x₂（x₁≠x₂），
即函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象和直线y=1-a有两个交点．
而x=$\frac{π}{6}$是y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象的一条对称轴，故x₁+x₂ =$\frac{π}{3}$．
又x=0时，y=1，故2＞1-a≥1，∵2sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=1-a，
则x₁+x₂+sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）+sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=x₁+x₂+1-a=$\frac{π}{3}$+1-a 的取值范围是[1+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$），
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，函数的零点与函数的图象的交点间的关系，属于基础题．