题目内容
10．已知数列{bn}的前n项和${B_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的通项${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$，求数列{an}的前n项和Tn．
分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$=（3n-2）•2n+（-1）n•2n．设数列{（3n-2）•2n}的前n项和为An，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：：（I）∵数列{bn}的前n项和${B_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，∴b1=B1=$\frac{3-1}{2}$=1；
当n≥2时，bn=Bn-Bn-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，当n=1时也成立．
∴bn=3n-2．
（II）${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$=（3n-2）•2n+（-1）n•2n．
设数列{（3n-2）•2n}的前n项和为An，
则An=2+4×22+7×23+…+（3n-2）•2n，
2An=22+4×23+…+（3n-5）•2n+（3n-2）•2n+1，
∴-An=2+3（22+23+…+2n）-（3n-2）•2n+1=$3×\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4-（3n-2）•2n+1=（5-3n）•2n+1-10，
∴An=（3n-5）•2n+1+10．
数列{（-1）n•2n}的前n项和=$\frac{-2[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=$-\frac{2}{3}$[1-（-2）n]．
∴数列{an}的前n项和Tn=（3n-5）•2n+1+10$-\frac{2}{3}$[1-（-2）n]．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | （$\frac{3}{4}$，+∞） | B． | （-∞，$\frac{3}{4}$） | C． | （$\frac{3}{4}$，1] | D． | （$\frac{3}{4}$，1） |
| A． | $x=\frac{π}{6}$ | B． | $x=\frac{π}{3}$ | C． | $x=\frac{2π}{3}$ | D． | $x=\frac{5π}{6}$ |
| A． | -6 | B． | 6 | C． | -2$\sqrt{3}$ | D． | 2$\sqrt{3}$ |