Question

18．已知函数f（x）=x²-ax-4（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为-8，求a的值；
（Ⅲ）若对任意的a∈R，总存在x₀∈[1，2]，使得|f（x₀）|≥m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二次函数f（x）的图象与性质得，函数的对称轴不在[0，2]内即可；
（Ⅱ）讨论f（x）在[a，a+1]上的单调性，求出f（x）最小值，即可求出a的值，
（Ⅲ）讨论f（x）在[1，2]上的单调性，求出f（x）在[1，2]的最大值，即可得出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²-ax-4，a∈R；
当f（x）在区间[0，2]上是单调函数时，
对称轴x=$\frac{a}{2}$应满足$\frac{a}{2}$≤0或$\frac{a}{2}$≥2，
即a≤0或a≥4，
∴a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}；
（Ⅱ）f（x）=x²-ax-4（a∈R）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$≤a时，即a≥0时，f（x）_min=f（a）=a²-a²-4=-4≠-8，
当$\frac{a}{2}$≥a+1时，即a≤-2，f（x）_min=f（a）=（a+1）²-a（a+1）-4=-8，解得a=-5，
当a＜$\frac{a}{2}$＜a+1时，即-2＜a＜0时，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=（$\frac{a}{2}$）²-a（$\frac{a}{2}$）-4=-8，解得a=±4（舍去），
综上所述f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为-8，则a=-5．
（Ⅲ）当$\frac{a}{2}$≤1时，即a≤2时，f（x）_max=f（2）=2²-2a-4=-2a，
则|-2a|≥m，即m≤|2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2a，0≤a≤2}\\{-2a，a＜0}\end{array}\right.$
当$\frac{a}{2}$≥2时，即a≥4，f（x）_max=f（1）=1²-a-4=-a-3，
则|-a-3|≥m，即m≤|a+3|=a+3，
当1＜$\frac{a}{2}$≤$\frac{3}{2}$时，即2＜a≤3时，f（x）_max=f（2）=-2a，则|-2a|≥m，即m≤2a，
当$\frac{3}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜2时，即3＜a＜4时，f（x）_max=f（1）=-a-3，则|-a-3|≥m，即m≤a+3，
综上所述：当a＜0时，m≤-2a，
当0≤a≤3时，m≤2a，
当a＞3时，m≤a+3．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目．