Question

已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-1，2]上的最大值是最小值的8倍．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当a＞1时，解不等式log_a（2a+2x）＜log_a（x²+1）．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）分类讨论当a＞1时，当0＜a＜1时，求出最大值，最小值，即可求解答案．
（Ⅱ）转化log₂（4+2x）＜log₂（x²+1）得出得出不等式组

4+2x＞0 4+2x＜x2+1

x＞-2 x2-2x-3＞0

，
求解即可

x＞-2 x＜-1或x＞3

解答： 解：f（x）_max=a²，f（x）_min=a^-1，则

a2

a-1

=a²=8，解得a=2；
当0＜a＜1时，f（x）=_max=a^-1，f（x）_min=a²，则

a-1

a2

=a^-3=8，解得a=

1

2

；
故a=2或a=

1

2

（Ⅱ） 当a＞1时，由前知a=2，不等式log_a（2a+2x）＜log_a（x²+1）
即得解集为（-2，-1）∪（3，+∞）．

点评：本题考察了指数函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是分类得出方程，不等式组．