Question

10．已知在多面体SP-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．
（1）求证：AE∥面SPD；
（2）求二面角B-PS-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，推导出CPFQ为平行四边形，四边形AECQ为平行四边形，从而AE∥PF，由此能证明AE∥面SPD．
（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，能求出二面角B-PS-D的余弦值．

解答 证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，
∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，
FQ=$\frac{1}{2}$AS，PC=$\frac{1}{2}$AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，
∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，
又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，
又PF∥CQ，∴AE∥PF，
∴PF?面SPD，AE?面SPD，∴AE∥面SPD．
解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，
以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），
$\overrightarrow{SP}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{SD}$=（0，2，-2），
设面BPS与面SPD的法向量分别为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SP}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{x-2z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（4，-1，2），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-c=0}\\{2b-2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
两平面的法向量所成的角的余弦值为：
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4×（-1）+（-1）×1+2×1}{\sqrt{21}•\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∵二面角B-PS-D为钝角，∴该二面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．