Question

7．若函数f（x）=xlnx-ax³+$\frac{1}{2}$x²-x存在极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，1）
• D． （-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-ax³+$\frac{1}{2}$x²-x的导数为f′（x）=lnx-3ax²+x，若函数f（x）有极值，则f′（x）=0有解，即lnx-3ax²+x=0有解，可得y=lnx与y=3ax²-x在（0，+∞）上有交点，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=xlnx-ax³+$\frac{1}{2}$x²-x的导数为f′（x）=lnx-3ax²+x，
若函数f（x）有极值，则f′（x）=0有解，即lnx-3ax²+x=0有解，
∴y=lnx与y=3ax²-x在（0，+∞）上有交点，
a≤0时恒成立；a＞0时，$\frac{1}{3a}$＞1，∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
综上所述，a＜$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于中档题．